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【Four 4s】4つの4で全ての整数が作れる魔法の数式

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こんにちは、ほけきよです!

“Numberphile"というyoutubeチャンネル知っていますか?

www.youtube.com

大好きなんです。英語ですが、英語がニガテってひとでも数字で雰囲気が伝わると思います。 今日はそんな中で、面白い数遊びネタを見つけました!

その数遊びは「Four 4s」と呼ばれるもの。

www.youtube.com

ルールは非常に単純。

4つの4を使って、指定された数を作る。他の数字は使ってはいけない。

みなさんも、頭を悩ませながら読んでみてください。

0から9

まずは小手調べに0から9までいきましょうか。

0 = 4-4+4-4

1 = 4-4+4\div 4

2 = 4\div4+4\div4

3= (4+4+4)\div4

4 = 4+(4-4)\times4

5 = (4\times4+4)\div 4

6 = (4+4)\div4+4

7 = 4+4-4\div4

8 = 4\times4-4-4

9 = 4+4+4\div4

10は?

9まではこのようにできるのですが、10はできますか??

うーん難しいですね。。。どうすれば良いのでしょう?

誰が『+-×÷』だけだと言った?

もう一度、ルールを見てみましょう 「数字は4以外使ってはいけない」 とだけ書いています。

ここから、四則演算(+-×÷)だけじゃなくて、他の演算も考えてみましょう。

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Numberphile "The Four 4s"より

この図の左側が、さっきまでに使ってたやつですね。右側はなんなのでしょうか。ていきましょう。

数式 名前 意味
 a||b Concatenation つなげる  4||4 = 44
 a^{b} Exponents 指数  4^{4}=4\times\ 4\times 4\times\ 4=256
 a! Factorial 階乗 4!=4\times\ 3\times 2\times\ 1=64
 .a Decimal Point 小数点 .4 = 0.4
 \sqrt{a} Sqiare Root ルート \sqrt{4} = 2

これらを使うと、さらにいろいろな数を表せるのです。

10 = 4+\sqrt{4}+\sqrt{4}+\sqrt{4}

10 = (4||4-4)\div4

こんな風にね!実にいろいろな数を表現できます。他の数でも是非考えてみてください。

全ての整数を表せる??

とは言え、これらの演算だけで全ての整数は表せません。最後にもう一つだけ、道具を追加しましょう。 それが「対数」です。

数式 名前 意味
 \log_{a}{b} *1 log 対数  \log_{4}{4^{2}} = 2

対数を使えば、全ての整数を4つの4だけで表すことが出来ます!

対数とは

対数っていうのはその数が何回かけられたかを表します。 具体的に見ていったほうが早いかと思うので、見ていきましょう。

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このように、対数\log_{a}は、aが何回掛けられたかを表すことが出来るのです!対数っていうのはこれだけ!

2は4を何回掛けているの?

最後の\log_{4}{\sqrt{4}}に関しては、逆を考えるとわかりやすいです。つまり、「2を何回かけると4になるか」です。 これは2\times 2 = 4なので、答えは2回です。

4を何回かけると2になるか?という問いに関しては、その逆の\frac{1}{2}回ってことですね。 つまり、\log_{4}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2}というわけです。

任意の整数を表す魔法の数式

これまでの道具を使うと、任意の整数が表せられるようになります! その魔法の数式がこちら!

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何やらいりくんでいますが、ルートの数=整数となっています。

例えば、100という数字を作りたいときは、ルートを100個つければ良いのです!!

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きちんと、当初のルール4以外の数は使ってはならないは守りながら、これであらゆる数字を表せられる事ができました。

途中式

気になる人のために、計算の途中式も載せておきますね。

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おわりに

いかがでしたでしょうか。数は制限されてるけど、演算の制限がないところがこの問題のポイントでしたね!

ちょっとだけ真面目な話をすると、こういう遊びは結構頭の体操になると思います。以前どこかの記事でも話した気がするんですが、1+1=2を教えるより、2になる計算式を10個考えさせるほうが、ずっとずっと思考力がつくと思います。小・中学生のお子様をおもちの方は、こういう数遊びで、算数の楽しさを教えてみてはいかがでしょうか。

また、Numberphileには、他にもたくさんの数遊び系の動画があるので、暇な時にでも是非是非御覧ください!

最後にほけきよから、1・9・1・9をつかって、10を作ってみてください~。+-×÷だけでできます。意外に難しい問題です!暇な時にでも。ではではっ

*1:aを対数の底といいます