【6年ぶり306回目】素数年2017年は◯◯な年！！まとめ

素数ファンの皆様こんにちは、ほけきよです。

2017年が始まって二週間が経過しようとしてますね！ 2017年といえば、そう、素数ですね！素数ファンならすぐにお気づきになると思います！！西暦0年から306回目！

この前の素数が2011年だったので、実に6年ぶりの素数年というわけです。この、2011年は連続する11個の素数の和であるということで、世界中が沸いていたと思います。 (2011 = 157 + 163 + 167 + 173 + 179 + 181 + 191 + 193 + 197 + 199 + 211)

「じゃあ、2017年は他に面白いことないの？？」

お任せください！それでは、2017に関するエトセトラ、紹介していきます！

セクシー素数
ピタゴラス数
ピタゴラス素数
3つの立方数の和
数検の2017年問題
整数の辺だけを持つ正七角形の一辺
随時更新します

セクシー素数

セクシー素数とは差が 6 の素数の組 (p, p + 6)のことです 2011年が素数だったので、(2011,2011+6)でセクシー素数というわけです！

なおこの用語は、ラテン語で 6 が sex であることに由来するものであり、性的な意味のセクシーとは無関係である。(Wikipediaより)

ピタゴラス数

${ a^{2}+b^{2}=c^{2} (a,b,cは自然数)}$

もしかしたらピタゴラス数なのでは？？なんて思いながら、ちょっとプログラムを組んで調べてみました。*1 ちなみに、if文の中身を変えるといろいろと応用できるかもしれません。あなただけの2017を見つけてみてください^^

#coding:utf-8
import sympy
# 素数のピタゴラス数を調べる
def pita(N):
    A = range(N)
    if sympy.divisor_count(i)!=2:
        return False
    for a in A:
        for b in A[a:N]:
            if N**2 == a**2+b**2:
                print("{}^2+{}^2={}^2".format(a,b,N))

#素数のピタゴラス数を見つける
for i in range(2017):
    # 素数かつピタゴラス数
    pita(i)
  
>>> ...
>>> 315^2+1972^2=1997^2
>>> 792^2+1855^2=2017^2

${ 2017^{2}=792^{2}+1855^{2}}$

本当にピタゴラス数だった！その前が

${ 1997^{2}=315^{2}+1972^{2}}$

というわけで、実に20年ぶりの素数のピタゴラス数ということになります。

図形で表すとこんな感じです、2017年三角形、使っていきましょう！

f:id:imslotter:20170112232928p:plain

ピタゴラス 素数

ピタゴラス数を見つけたので、

やった！ピタゴラス数の素数だ！ピタゴラス素数

と思っていたのですが、実は、ピタゴラス素数は別の定義を指すようです。それがこちら

${ a^{2}+b^{2}=c かつ, cは素数}$

これについても、調べてみると、ありました！

${ 2017 = 9^{2}+44^{2} }$
また、これに関しても

${ 1997^{2} = 29^{2}+34^{2} }$

なので、20年ぶりのピタゴラス素数です

実を言うと、ピタゴラス素数は、必ずピタゴラス数の組を持つのです。証明はこう

${ a^{2}+b^{2}=N (a,b,c\in N)}$
が存在するとすると、両辺を2乗して、
${ (a^{2}+b^{2})^{2}=N^{2}}$
式変形をすると、
${ (a^{2}-b^{2})^{2}+(2ab)^{2}=N^{2}}$
つまり、 ${(N,a^{2}-b^{2},2ab)}$
が、ピタゴラス数の組(終)

図形にすると、こう f:id:imslotter:20170112234913p:plain

3つの立方数の和

フェルマーの最終定理は

${ a^{3}+b^{3}=c^{3} (a,b,c\in N)}$ は存在しない。

ですね。でも、これが

${ a^{3}+b^{3}+c^{3}=d^{3} }$

になると意外と結構存在するんです。2017は

${ 876^{3}+1441^{3}+1656^{3}=2017^{3} }$
${ 892^{3}+1185^{3}+1800^{3}=2017^{3} }$

と、2組ありました！ちなみにその前は1999年で、

${ 736^{3}+1423^{3}+1676^{3}=1999^{3} }$
${ 1026^{3}+1143^{3}+1756^{3}=1999^{3} }$

なので、18年振りですね！

図的に表すとこんな感じです！ f:id:imslotter:20170112233030p:plain

数検の2017年問題

数検の問題でこんなのがあったので、解いてみました

f:id:imslotter:20170113192206j:plain

解答
${ \sum_{k=1}^{n} k^{3} = \left( \frac{1}{2}n(n+1) \right)^{2} }$ に ${n=9}$ を代入すると
${ \left( \frac{1}{2}\times 9\times 10\right) = 2025 }$
ここから、ある整数 ${l^{3}}$ を取り除いて2017にするのだから、
${ 2025 - l^{3}=2017 }$
したがって、 ${l=2}$