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プロクラシスト

みんなのProcrastination(先延ばし、回り道)を少しでも有意義に。

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【11次元のベン図】あなたは本当のベン図をまだ知らない

こんにちは!ほけきよです。

ベン図ってご存知ですか? 高校1年か2年くらいで習う、集合を表す図です。

文系が高校数学において、唯一社会人になっても使う理系の図かもしれません。 どのくらい大事かというと、このように、「会議でスマートに見せる100の方法」の第1項目にあげられるほど重要です。


(出典)会議でスマートに見せる100の方法

ベン図を制してこそ、会議を制することができ、また出世街道を制することができると言っても過言ではないのです。

しかし、この図のように本当に{n=2}, つまりたった2つの集合のベン図を書くだけで頭が良いと言えるでしょうか??

今回は、3つ以上のベン図を紹介します。これを書くことで、真の会議の王者になりましょう!

n=2

基本の型ですね。ベン図では、基本的に {2^{n}}個に空間を分割してやる必要があります。 n=2だと、4個の空間。

例えば、街頭で「猫好きか、犬好きか」とアンケートを取るとすると、

  1. 両方好き
  2. 犬好き
  3. 猫好き
  4. 両方嫌い

の4種類に分けることができます。これをベン図で書くと↓のようになります。

f:id:imslotter:20170402201203p:plain

2だとイメージがつきやすいですね。 どんどん行きましょう

n=3

このあたりまでなら、高校数学でも見たことある人、いるのではないでしょうかね。

アンケート項目が犬、猫、うさぎの3種類に増えたと思ってください

この時に書くベンズは、↓のようなものになります。

f:id:imslotter:20170402201814p:plain

n=4

だんだんパターンがわかってきましたね!! n=4を書いて見ましょう。だいたいこう書くはずです

f:id:imslotter:20170402201926p:plain

美しい…!一見それっぽいですよね。けれど、これ全部を表現しきれていないのです。 分割された空間を数えても14しかないですよね。そうAC,BDが抜けているのです。

つまり、これは不完全なベン図ということになります。実は{n>=4}では円だけでベン図を書くことはできないのです。

そこでどうするか。偉い人は楕円を使いました。それがこちら

f:id:imslotter:20170402202416p:plain

これで、4項目のアンケートでも安心ですね!

n=5

楕円という武器を得たので、{n=5}の時も安心です。

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5項目のアンケートの時に、おもむろに立ち上がりこのベン図を書き上げましょう。 きっと社内で一目置かれる存在になるでしょう^^

美しいベン図はどこまで書くことができるの? n=7

では、美しいベン図は何個の集合まで書くことが可能なのでしょうか。

実は、これより大きなnであったとしても、ぐちゃぐちゃな多角形を使うと、ベン図はかけます。 しかし、それではスマートじゃないでしょう。会議でただのキチガイだと思われてしまいます。

ここで、{n=7}のベン図を見てみましょう

f:id:imslotter:20170402204058p:plain

美しいですね。美しいベン図を作るために、数学者は「美しいベン図」のルールを定めました。そのルールとは “Simple”“Symmetric”です。↓が、噛み砕いた定義です。

■ Simple : 1つの交点は、必ず2つの線だけで交わる。3つ以上が重なることはない

■ Symmetric : 回転対称性。何度か回すと同じ図形に戻る(n=7なら2π/7)

美しいベン図のフロンティア、n=11

美しくスマートなベン図は、一体どこまで書くことができるのでしょうか。

2012年7月27日、次のような論文が出ました。タイトルは"A New Rose : The First Simple Symmetric 11-Venn Diagram"

です。新しい薔薇。キザですねーー! 実に50年ぶりの発見だったようです。ベン図界にはさぞ衝撃が走ったことでしょう。

さあ、そのベン図を見てみましょう。それがこちら。

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ふつくしい…真ん中の黄色い部分を拡大するとこんな感じです

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もはや芸術ですね。コンピュータで計算して、発見に至ったようです。

ここまで行くと、会社で一目置かれるばかりではなく、数学界からも一目置かれますね!!

終わりに

いかがでしたか、スマートな社会人を目指し、 皆さんも練習して、会議でベン図を書けるようにしておきましょう!ではではっ!