【Four 4s】4つの4で全ての整数が作れる魔法の数式

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こんにちは、ほけきよです！

“Numberphile"というyoutubeチャンネル知っていますか？

www.youtube.com

大好きなんです。英語ですが、英語がニガテってひとでも数字で雰囲気が伝わると思います。今日はそんな中で、面白い数遊びネタを見つけました！

その数遊びは「Four 4s」と呼ばれるもの。

www.youtube.com

ルールは非常に単純。

4つの4を使って、指定された数を作る。他の数字は使ってはいけない。

みなさんも、頭を悩ませながら読んでみてください。

0から9
10は？
誰が『＋－×÷』だけだと言った？
全ての整数を表せる？？
- 対数とは
- 2は4を何回掛けているの？
任意の整数を表す魔法の数式
- 途中式
おわりに

0から9

まずは小手調べに0から9までいきましょうか。

$0 = 4-4+4-4$

$1 = 4-4+4\div 4$

$2 = 4\div4+4\div4$

$3= (4+4+4)\div4$

$4 = 4+(4-4)\times4$

$5 = (4\times4+4)\div 4$

$6 = (4+4)\div4+4$

$7 = 4+4-4\div4$

$8 = 4\times4-4-4$

$9 = 4+4+4\div4$

10は？

9まではこのようにできるのですが、10はできますか？？

うーん難しいですね。。。どうすれば良いのでしょう？

誰が『＋－×÷』だけだと言った？

もう一度、ルールを見てみましょう「数字は4以外使ってはいけない」とだけ書いています。

ここから、四則演算(＋－×÷)だけじゃなくて、他の演算も考えてみましょう。

Numberphile "The Four 4s"より

この図の左側が、さっきまでに使ってたやつですね。右側はなんなのでしょうか。ていきましょう。

数式	名前	意味	例
$a\|\|b$	Concatenation	つなげる	$4\|\|4 = 44$
$a^{b}$	Exponents	指数	$4^{4}=4\times\ 4\times 4\times\ 4=256$
$a!$	Factorial	階乗	$4!=4\times\ 3\times 2\times\ 1=64$
$.a$	Decimal Point	小数点	$.4 = 0.4$
$\sqrt{a}$	Sqiare Root	ルート	$\sqrt{4} = 2$

これらを使うと、さらにいろいろな数を表せるのです。

$10 = 4+\sqrt{4}+\sqrt{4}+\sqrt{4}$

$10 = (4||4-4)\div4$

こんな風にね！実にいろいろな数を表現できます。他の数でも是非考えてみてください。

全ての整数を表せる？？

とは言え、これらの演算だけで全ての整数は表せません。最後にもう一つだけ、道具を追加しましょう。それが「対数」です。

数式	名前	意味	例
$\log_{a}{b}$ *1	log	対数	$\log_{4}{4^{2}} = 2$

対数を使えば、全ての整数を4つの4だけで表すことが出来ます！

対数とは

対数っていうのはその数が何回かけられたかを表します。具体的に見ていったほうが早いかと思うので、見ていきましょう。

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このように、対数 $\log_{a}$ は、aが何回掛けられたかを表すことが出来るのです！対数っていうのはこれだけ！

2は4を何回掛けているの？

最後の $\log_{4}{\sqrt{4}}$ に関しては、逆を考えるとわかりやすいです。つまり、「2を何回かけると4になるか」です。これは $2\times 2 = 4$ なので、答えは2回です。

4を何回かけると2になるか？という問いに関しては、その逆の $\frac{1}{2}$ 回ってことですね。つまり、 $\log_{4}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2}$ というわけです。

任意の整数を表す魔法の数式

これまでの道具を使うと、任意の整数が表せられるようになります！その魔法の数式がこちら！

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何やらいりくんでいますが、ルートの数=整数となっています。

例えば、100という数字を作りたいときは、ルートを100個つければ良いのです！！

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きちんと、当初のルール4以外の数は使ってはならないは守りながら、これであらゆる数字を表せられる事ができました。

途中式

気になる人のために、計算の途中式も載せておきますね。

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おわりに

いかがでしたでしょうか。数は制限されてるけど、演算の制限がないところがこの問題のポイントでしたね！

ちょっとだけ真面目な話をすると、こういう遊びは結構頭の体操になると思います。以前どこかの記事でも話した気がするんですが、1+1=2を教えるより、2になる計算式を10個考えさせるほうが、ずっとずっと思考力がつくと思います。小・中学生のお子様をおもちの方は、こういう数遊びで、算数の楽しさを教えてみてはいかがでしょうか。

また、Numberphileには、他にもたくさんの数遊び系の動画があるので、暇な時にでも是非是非御覧ください！

最後にほけきよから、1・9・1・9をつかって、10を作ってみてください～。＋－×÷だけでできます。意外に難しい問題です！暇な時にでも。ではではっ

*1:aを対数の底といいます